6 myśli nt. „Zag 25. Obrót w czterech wymiarach”

  1. Weźmy dla uproszczenia obrót o kąt 180 stopni. Ja w pierwszym odruchu bym po prostu dodał do normalnej macierzy obrotu w 3D wiersz 0 0 0 1.
    Czyli

    -1 0 0 0
    0 -1 0 0
    0  0 1 0
    0  0 0 1

    Oczywiście, wówczas ślad wyniesie zero, nie -1 tak jak w 3D.

    Mam jednak pewne wątpliwości czy dla obrotu wokół osi nie powinna być spełniona niezmienniczość tylko dla punktów leżących na osi OZ.
    Wówczas musiałbym zmodyfkować przepis dla obrotu na

    -1 0 0  0
    0 -1 0  0
    0  0 1  0
    0  0 0 -1
    

    Tu jednak mamy ujemny wyznacznik, co oznaczałoby zmianę skrętności układu współrzędnych na skutek obrotu. Sprawa nie jest więc oczywista…

    1. Najpierw drobna uwaga do stwierdzenia: “Tu jednak mamy ujemny wyznacznik, co oznaczałoby zmianę skrętności układu współrzędnych na skutek obrotu.”

      Czasem mówi się o przekształceniach aktywnych, bądź pasywnych. Te pierwsze odnoszą się do przekształceń przestrzeni, a te drugie do przekształceń układu współrzędnych.
      Przekształcenia symetrii w krystalografii traktuje się na ogół jako przekształcenia aktywne, więc w takim przypadku trudno mówić o zmianie skrętności układu, nawet jeśli macierz przekształcenia ma wyznacznik równy -1, bo układ współrzędnych jest ciągle ten sam. Oczywiście jeśli potraktujemy tę samą macierz jako macierz przekształcenia pasywnego, to skrętność układu się zmieni.

      1. Tak, no rzeczywiście, to skrętność obiektu się zmieni a nie układ odniesienia. To dość niezręczny i właściwie błędny skrót myślowy. Miałem na myśli drugi zestaw wersorów będących obiektem przekształcenia.
        Pytanie jednak zawiera pewien haczyk. Właściwie w przestrzeni 4D nie ma obrotów wokół osi. O ile na płaszczyźnie mamy obroty wokół punktu (obiekt 0D), a w przestrzeni 3D mamy obrót wokół osi (1D) to nie powinno budzić zdziwienia, że obrót w 4D jest wokół płaszczyzny (tworu dwuwymiarowego). Wniosek z tego, że obrót w 4D prawidłowo opisuje pierwsza z proponowanych macierzy, która ma wyznacznik +1.

        1. “Właściwie w przestrzeni 4D nie ma obrotów wokół osi”

          To bardzo słuszna uwaga. Nasze intuicje pochodzące z dwu i trzech wymiarów mogą być mylące. Pozostaje nam niezawodna algebra.
          Izometrie w przestrzeniach n-wymiarowych definiuje się tak samo jak dla przestrzeni niżej wymiarowych jako przekształcenia zachowujące odległość między punktami. Wówczas macierze tych przekształceń (w układzie współrzędnych ortonormalnych) są ortogonalne, czyli spełniają warunek AAT = 1. Co oznacza, że macierz odwrotna, A-1, do macierzy A jest równa macierzy transponowanej do A. Podobnie macierze obrotów właściwych mają wyznacznik równy 1.

          Ciekawe jest pytanie ile niezależnych obrotów występuje w przestrzeni n-wymiarowej. Okazuje się, że sposród n2 wyrazów macierzy o wymiarach nxn opisującej obrót tylko n(n-1)/2 jest niezależnych, ponieważ macierze te spełniają n(n+1)/2 niezależnych warunków ortogonalności (AAT = 1). Rzeczywiście, n2n(n+1)/2 = n(n-1)/2. Czyli dokładnie tyle, na ile sposobów można z n współrzędnych wybierać dwie współrzędne – a dwie współrzędne definiują zawsze dwuwymiarową płaszczyznę. Tak więc w 2D mamy 2×1/2 = 1 obrót niezależny, w 3D 3×2/2 = 3 obroty niezależne, a w 4D 4×3/2 = 6 obrotów niezależnych (sześć niezależnych płaszczyzn w których można dokonywać obrotu).

          Wracając do zacytowanego na początku zdania, obrotu nie należy traktować jako przekształcenia “wokół osi”, ale raczej jako przekształcenie “w płaszczyźnie”, a czasami nawet w niejednej płaszczyźnie, bo w 4D możemy mieć np. obrót postaci:

          |cos(α) -sin(α)          0        0  |
          |sin(α)  cos(α)          0        0  |
          |0          0        cos(β)  -sin(β) |
          |0          0        sin(β)   cos(β) |
          

          co można by nazwać obrotem podwójnym.

          1. To ciekawy przykład. Biorąc na przykład α = β = 180 ° mamy obrót w sumie o 360 stopni a obiekt nie wraca do pierwotnej postaci. Dopiero obrót o 720 ° daje identyczność. Jakoś dziwnie przypomina to własności obiektów kwantowych czy np. spinu.
            Warto też zauważyć, że powyższy obrót reprezentowany jest przez macierz jednostkową pomnożoną przez -1, czyli jakby odbicie w środku symetrii, które jest obrotem. Teraz jednak zdziwienie powinno być mniejsze, gdyż w symetriach płaskich (w 2D) również odbicie w środku symetrii było identyczne z obrotem, wówczas o 180 °.

  2. Ciekawe spostrzeżenie dotyczące spinu, ale to chyba przypadkowa zbieżność. Zmiana znaku funkcji spinowej pod wpływem obrotu o 360 ° dotyczy jednak obrotów w 3D. Ta właściwość spinu znajduje swój wyraz w tym, że grupą opisującą symetrie tych funkcji jest grupa SU(2) a nie grupa SO(3).

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Antyspam * Time limit is exhausted. Please reload CAPTCHA.