Zag. 5. Symbolika grup przestrzennych

Tablice krystalograficzne przewidują występowanie symboli grup przestrzennych w trzech formach: skróconej, pełnej i rozszerzonej (short, full and extended).  Dla przykładu grupa nr 15 może być zapisana odpowiednio jako:

C2/c,   1 2/c 1 albo w dwóch liniach

C 1 2/c 1
    21/n

Jest tak, ponieważ z operacji symetrii podanych w symbolu wynikają również inne operacje symetrii, będące złożeniem tych podanych z uwzględnieniem translacji centrujących. To czy w symbolu wystąpi 2 czy 21, płaszczyzna c czy n wynika z reguł pierwszeństwa podanych w owych Tablicach (Vol. A str. 59). Mamy tam podany szereg (w kolejności malejącej ważności): m, e, a, b, c, n, d; osie zwykłe przed osiami śrubowymi.  Standardowo używamy więc symbol C2/c a nie C21/n chociaż oba definiowałby ten sam zestaw operacji symetrii.

Pytanie: czy w grupie P4/n występuje oś 41 czy czterokrotna inwersyjna (-4), czy obie?

Pytanie drugie:
Reguły pierwszeństwa musiały być złamane dla grup I222 (nr 23) oraz I212121 (nr 24) , które są innymi grupami przestrzennymi. Na czym polegać może różnica, skoro obie zawierają (w kierunkach X, Y i Z) zarówno trzy osie zwykłe jak i trzy śrubowe?

 

Zag. 4. Dyfrakcja na siatce (do przodu i do tyłu)

Autor: Andrzej Olczak

Wyobraźmy sobie dwuwymiarowy kryształ (mógłby to być np. grafen), na który pada prostopadle do
jego powierzchni wiązka promieniowania rentgenowskiego (Rys_1).

Jak będzie zmieniał się obraz dyfrakcyjny przy zmianie kąta
nachylenia tego kryształu względem wiązki padającego promieniowania (Rys_2)?

Czy będzie jakaś istotna różnica w zachowaniu refleksów “przechodzących” (rozproszenie do przodu)
i “odbitych” (rozproszenie do tyłu)?

Aby odpowiedzieć na te pytania nie musimy wykonywać
eksperymentu rentgenowskiego, ale możemy
odwołać się do analogii ze światłem widzialnym,
które podlega dokładnie tym samym prawom
ulegając dyfrakcji, tyle że rolę kryształu pełni
odpowiednia siatka dyfrakcyjna.
Na załączonym filmie Wideo widzimy (po prawej stronie obrazu)
źródło światła (wskaźnik laserowy), a w centrum obrazu
w specjalnej nasadce umieszczona jest siatka dyfrakcyjna.
Możemy zauważyć, ze podczas zmiany nachylenia siatki
dyfrakcyjnej w stosunku do kierunku padającego promieniowania
refleksy “przechodzące” niemal nie zmieniają swojego
położenia, natomiast refleksy “odbite” zmieniają swoje
położenie bardzo wyraźnie.

Jak można takie różnice w zachowaniu tych dwu grup refleksów
wyjaśnić za pomocą często wykorzystywanej w krystalografii
rentgenowskiej konstrukcji Ewalda?

Zagadka 1. Rozpoznawanie operacji symetrii

Jednym z zadań treningowych opublikowanych dla przygotowujących się do Olimpiady Krystalograficznej jest rozpoznanie operacji symetrii na podstawie macierzy, reprezentującej tę operację. Zwykle te macierze są proste i zawierają tylko 0, 1 i -1. Problem polega na tym, że w zależności od położenia elementu symetrii względem osi  ta sama operacja symetrii może być opisana różnymi macierzami.  Jak więc sobie radzić?

Po pierwsze można pomnożyć macierz kilkukrotnie przez siebie i zobaczyć dla jakiej potęgi uzyskamy identyczność. Odpowiada to wykonywaniu złożenia kilku operacji symetrii. Tak można łatwo odróżnić os siebie macierze opisujące osie 2, 3, 4 i 6. To jednak sposób długotrwały i niezbyt godny polecenia.

Lepiej jest policzyć wyznacznik macierzy. Będzie on wynosił jeden dla operacji nie zmieniającej chiralności (zmiany obiektu prawoskrętnego w lewoskrętny) albo minus jeden dla operacji zmieniających chiralność. Obrót i przesunięcie nie zmieniają chiralności a odbicie zwierciadlane, osie inwersyjne oraz środek symetrii tak i będą miały wyznacznik ujemny.

Dodatkowo można policzyć tzw. ślad macierzy czyli sumę elementów na głównej przekątnej. Ślad macierzy ( oznaczany trace lub tr) dla danej operacji symetrii nie zależy od orientacji elementu symetrii w przestrzeni.
Znajomość wyznacznika i śladu wystarcza do przypisania macierzy operacji symetrii, którą reprezentuje.
Jeżeli więc np. znamy jakąś prostą macierz opisująca operację symetrii, to możemy jej ślad porównać z śladem macierzy podanej w zadaniu. Na przykład dla obrotów o 180 st. i osi ustawionych wzdłuż X, Y i X+Y mamy macierze:

|1  0  0|
|0 -1  0|
|0  0 -1|

|-1 0  0|
|0  1  0|
|0  0 -1|

|0 1  0|
|1 0  0|
|0 0 -1|

Wszystkie mają det(A) = 1 i ślad tr(A) = -1.

Zagadka. Jaką operację symetrii opisuje macierz:

|0  0  1|
|0  1  0|
|1  0  0|

a) obrót o 180 stopni
b) płaszczyznę symetrii
c) odbicie w środku symetrii
d) identyczność